АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФОРЕКС

Лучшие Форекс брокеры 2021:
Читайте в этой статье:

Аффинная геометрия рынков

Несколько лет назад мне попали в руки материалы какого-то семинара по техническому анализу. Это была своего рода <рукопись, найденная в Сарагосе>: без начала и конца, без имени автора. Одна идея, приведенная в ней, мне очень понравилась: картина параллельных линий завораживала. Потом я много раз отслеживал ее на рыночных графиках, а недавно попробовал запрограммировать несложное преобразование на компьютере. Получилась еще более красивая картина. Возможно, что другие трейдеры также найдут в ней материал для размышлений и полезные ориентиры в торговле.

Ценовые каналы и память рынка

В нескольких словах предлагаемая идея сводится к рекомендации: если вы увидели на рыночном графике хороший канал, не забывайте о нем, поскольку и рынок помнит такие каналы долго. Порой в очень отдаленном будущем он может в точности вернуться к линиям нарисованного сегодня канала. Так, на рисунке 1 показаны два канала, восходящий и нисходящий, на часовом графике японской иены в начале 2001 года.

Рис. 1. Часовой график курса USD/JPY 2 января – 7 февраля 2001 г. Параметры двух каналов.

Линиями зеленого цвета показан восходящий канал. Вертикальный отрезок, обозначенный Up, измеряет его высоту. Соответственно, красными линиями нарисован нисходящий канал, и Dn – его высота. С помощью вертикальных отрезков можно продлить линии каналов в будущее, перенося их параллельно. Таким образом создается сетка из двух видов линий. Благодаря ей обнаружится, что, если в будущем график цены опять встретит эти линии, они вновь будут играть роль линий консолидации. Иначе говоря, встретив такую линию (даже по прошествии длительного времени), график либо пойдет вдоль нее, либо откатится от нее, а может быть, и пробьет эту линию и пойдет к следующей. В любом случае подобная встреча сигнализирует о возможности (и направлении) сильного хода цены, следовательно, является сигналом к открытию позиции и дает полезные ориентиры для получения прибыли. Не так уж мало для торговой идеи.

Действительно, в данном примере в конце года (рис. 2) график японской иены вошел в длительный восходящий канал, который был не чем иным, как проекцией восходящего канала, сформировавшегося еще в начале года. На рисунке 2 также отмечена пунктирной линией середина канала, которая часто играет роль линии консолидации.

Рейтинг Форекс брокеров:

Рис. 2. Часовой график иены, 1 ноября 2001 – 8 января 2002 г. Память о канале, сформировавшемся в начале года.

Пронаблюдав за различными рынками, легко убедиться, что подобное поведение не является чем-то экзотическим. Напротив, это типичное проявление памяти рынка и почти каждый существенный канал может быть использован таким образом.

Аффинные преобразования цены

На рисунке 2 цена длительное время идет между параллельными линиями, полученными переносом линий восходящего канала с рисунка 1 (наклонные тонкие линии здесь получены переносом линий нисходящего канала). Такое поведение графика подсказывает измерять продолжительность процесса не единицами времени, а длиной пути, пройденного вдоль линии канала (в данном примере зеленой линией). Тогда отклонение графика от этого направления, измеряемое вдоль направления линий другого канала (восходящего в этом примере), вполне может заменить значения цены. Рисунок 3 поясняет геометрический смысл такой замены переменных на ценовом графике. Здесь изображена новая система координат, у которой ось ОХ проведена из начальной точки (to, Po) параллельно линии поддержки восходящего канала (рис. 1). Каждая точка (t, P) исходного ценового графика (значение цены P, взятое в момент времени t) может быть теперь представлена с помощью двух чисел: расстояний Ox и Oy, которые получаются в результате проектирования точки (t, P) вдоль направлений, параллельных осям OX, OY.

Рис. 3. Геометрия аффинного преобразования и аффинная иена, глобальный вид (проекции часового графика иены на восходящий (JPY_RIS) и нисходящий (JPY_FAL) каналы), 2001 г.

В математике подобное преобразование от обычной (прямоугольной) системы координат к новой координатной системе, имеющей иной угол при вершине, сдвинутой в новое начало (to, Po) и повернутой на некоторый угол (a на рисунке 3), называется аффинным преобразованием. Оно является взаимно-однозначным: зная пару чисел (t, P), мы определяем x, y. И наоборот, по x, y однозначно восстанавливаются t и P. Так что во многих отношениях оба представления ценового графика могут рассматриваться как эквивалентные, поскольку содержат одну и ту же информацию.

Рейтинг Форекс платформ:

Поэтому заменим цену P ее проекцией y = Paff и получим аффинное представление ценового графика. При этом нет необходимости переходить к новой переменной времени и заменять t на Ox, так как это означает изменение масштаба времени, а подобное изменение автоматически осуществляется современными пакетами технического анализа при выводе графиков на экран.

Построение аффинных графиков

Для создания аффинного представления конкретного графика, которое порождается обнаруженным на нем каналом, необходимо измерить геометрические параметры линии канала: координаты начальной точки (to, Po) и угол наклона a. Практически удобнее снять координаты двух точек – (to, Po), (t1, P1), через которые проходит граница канала, и затем вычислить тангенс угла наклона: tg(a) = (P1 – Po ) / (t1 – to).

Иванов А. О. — Дифференциальная геометрия и тензорный анализ — Тензоры и тензорные поля

Параметры двух каналов на графике японской иены показаны на рисунке 1 и в таблице 1.

При вычислении разности (t1 – to), обозначенной в таблице как TimeDiff, необходима определенная осторожность ввиду возможных искажений, связанных с формой представления полей даты и времени, с выходными днями и т.д. С геометрической точки зрения TimeDiff есть расстояние во времени между выбранными начальной и конечной точками линии канала, определяемое как количество свечей между To и T1.

Также необходимо принять во внимание большое различие в масштабах числового представления цены и времени. Деление (P1 – Po )/ (t1 – to) почти всегда даст ноль или близкое к нему число. Чтобы избежать этого, цена иены умножена на 100 (значения тангенса в таблице 1 приведены с учетом этого масштабного множителя).

Для других активов, с иным масштабом цены, приходится брать свои масштабные множители. Например, в случае с евро стоит использовать 100000. Такое умножение позволяет избежать ошибок в процессе вычислений, на результатах же построения графиков оно не сказывается благодаря автоматическому масштабированию, выполняемому графическими пакетами. Результат аффинного преобразования цены получается по формуле:

Paff = (P – Po) – (t – to)*tg(a).

Для получения полного графика свечей (candlestick) необходимо применить это преобразование к каждой свече, подставляя в формулу вместо P поля open, high, low и close.

2021 04 09 СПБГУ ЭФ семинар б01

Поскольку на исходном графике (рис. 1) имелось два канала, восходящий и нисходящий, то получаются два аффинных варианта представления данного ценового графика. На рисунке 3 даны оба варианта часового графика иены, порожденные каналами, которые были обнаружены на рисунке 1: верхний график JPY_RIS является проекцией графика JPY на восходящий канал, а нижний график JPY_FAL – это проекция на нисходящий канал.

При построении аффинных графиков встретится еще одна сложность – отрицательные значения цены. Чтобы избежать связанных с этим искажений графика candlestick предлагается сдвинуть аффинные графики в положительную область (добавив 20000 в случае JPY_RIS и 1000 для JPY_FAL).

Рисунок 4 служит иллюстрацией этого свойства памяти каналов на другом примере – часовом графике курса евро.

Рис. 4. Каналы и аффинное представление часового графика евро, 22 октября 2001 – 14 марта 2002 г. Дивергенция на RSI аффинной версии, 2-3 января 2002 г.

Использование в торговле

«Выпуклый анализ», Половинкин Е. С. 12.03.2021г.

Основные свойства аффинных графиков следуют из способа их построения. Уровень поддержки на _RIS графике соответствует линии бычьего тренда на исходном графике цены, которая направлена параллельно линии порождающего канала. Уровень сопротивления на _FAL графике говорит о том, что цена здесь падает по линии тренда, параллельной направлению порождающего нисходящего канала. Прорыв аффинного уровня дает сильный сигнал, и чем продолжительнее этот уровень, тем более значительного хода цены следует ожидать после его прорыва.

Разумеется, все это хорошо известные свойства рыночных графиков, но аффинные проекции могут сделать многие движения цены более явными и предсказуемыми. Кроме того, здесь возникают новые нетривиальные варианты торговых решений. Ниже приведены только некоторые возможные идеи использования аффинных графиков.

Аффинные проекции и технические фигуры. В техническом анализе известно много различных <фигур>, появление которых на графиках предсказывает возможный в будущем ход цены. В отдельных случаях формирование фигуры на аффинном графике может проявляться лучше, чем на исходном. А нередко фигура, явно видная на аффинном графике цены, на исходном может не сформироваться вовсе. Подобная ситуация иллюстрируется рисунком 5 на примере фигуры <складной метр>.

Рис. 5. Складной метр на JPY_RIS; иена, 2-16 марта 2001 г.

В соответствии с интерпретацией складного метра (см. [1]) мы имеем три ясных сигнала к покупке на аффинной версии JPY_RIS (прорывы лучей 1, 2, 3), в то время как на исходном графике иены складной метр не появился вовсе, и здесь намного сложнее было бы получить те же торговые сигналы.

Аффинные проекции и пропорции Фибоначчи. Очень интересный пример соотношения уровней Фибоначчи ценового графика и его аффинной версии показан на рисунке 6 (нижний график здесь – JPY_FAL). Возврат JPY_FAL к его предыдущему максимуму (100%) и прорыв этого уровня – сильный buy-сигнал – не имеет аналога на исходном графике цены, так что здесь использование аффинной проекции дает возможность не упустить такой выгодный момент для открытия длинной позиции.

Иванов А. О. — Дифференциальная геометрия и тензорный анализ. Семинары — Лекция 6

Рис. 6. Пропорции Фибоначчи на графике иены и на его аффинной версии, 16 мая – 14 июня 2001 г.

Последовавший затем прорыв уровня 161.8% на JPY_FAL (проекции Фибоначчи) совпал с прорывом уровня 61.8% на графике цены, что может рассматриваться как дополнительное подтверждение силы этого buy-сигнала. Аффинные проекции и другие индикаторы. Один из примеров объединения аффинных проекций с другими индикаторами для получения торговых сигналов показан на рисунке 4 (выделенные прямоугольники представляют в увеличенном виде фрагменты графика евро и его аффинной версии EUR_FAL за 2-3 января 2002 г.).

Индикатор RSI c параметром 8 на аффинном графике EUR_FAL дал ясный сигнал к продаже в виде медвежьей дивергенции. Открытая по этому сигналу позиция могла принести неплохой доход (после этого максимума, достигнутого 2 января, евро опустился в конце месяца ниже 0.86). В то же время на исходном графике цены дивергенция отсутствует (линия, проведенная на графике евро через два локальных максимума, направлена вниз, а не вверх, как на EUR_FAL). В заключение отмечу, что формирование параллельных линий консолидации и длительное сохранение их силы является прямым следствием свойств памяти рынков. Аффинные преобразования ценовых графиков помогают сделать эту геометрическую картину более явной. Хотя с математической точки зрения это просто эквивалентное представление, не более чем другая точка зрения, но для принятия торговых решений она может быть не менее важна, чем сам график. Аффинные же проекции дают даже не одну, а целых две новых точки зрения! Комбинируя аффинные версии с различными аналитическими инструментами, можно обнаружить много полезных торговых идей.

2002

1. Лиховидов В. Складной метр – последняя фигура теханализа? // Валютный спекулянт, 2002, № 3, с. 36-40.

Аффинная геометрия — Affine geometry

В математике , аффинная геометрия является то , что осталось от евклидовой геометрии , когда не используется (математики часто говорят « когда забывают») на метрические понятия расстояния и угла.

Поскольку понятие параллельных прямых является одним из основных свойств, не зависящих от какой-либо метрики, аффинная геометрия часто рассматривается как исследование параллельных прямых. Следовательно, аксиома Плейфэра ( если прямая L и точка P не на L, есть ровно одна прямая, параллельная L, которая проходит через P ), является фундаментальной в аффинной геометрии. Сравнение фигур в аффинной геометрии выполняется с помощью аффинных преобразований , которые представляют собой сопоставления, сохраняющие выравнивание точек и параллельность линий.

Аффинная геометрия может быть разработана двумя по существу эквивалентными способами.

В синтетической геометрии , аффинное пространство представляет собой набор точек , к которым связанно множество линий, которые удовлетворяют некоторые аксиомы (например, аксиома Playfair компании).

Теорема о дивергенции.

Аффинная геометрия также может быть разработана на основе линейной алгебры . В этом контексте аффинное пространство — это набор точек, снабженный набором преобразований (то есть биективных отображений ), трансляций, которые образуют векторное пространство (над заданным полем , обычно действительными числами ), и таким, что для любого заданного упорядоченная пара точек есть уникальный перевод, отправляющий первую точку во вторую; композиция из двух переводов является их суммой в векторном пространстве переводов.

В более конкретных терминах это означает наличие операции, которая связывает любую упорядоченную пару точек с вектором, и другую операцию, которая позволяет переводить точку на вектор, чтобы получить другую точку; эти операции требуются для удовлетворения ряда аксиом (особенно, что два последовательных перевода имеют эффект перевода на вектор суммы). При выборе любой точки в качестве «начала координат» точки находятся во взаимно однозначном соответствии с векторами, но нет предпочтительного выбора для начала координат; таким образом, аффинное пространство можно рассматривать как полученное из связанного с ним векторного пространства путем «забвения» начала координат (нулевого вектора).

Хотя в этой статье обсуждаются только аффинные пространства , понятие «забвение метрики» является гораздо более общим и может применяться к произвольным многообразиям в целом. Это распространение понятия аффинных пространств на многообразия в целом развито в статье об аффинной связности .

СОДЕРЖАНИЕ

История

В 1748 году Леонард Эйлер ввел термин affine (лат. Affinis , «связанный») в своей книге Introductio in analysin infinitorum (том 2, глава XVIII). В 1827 году Август Мебиус писал об аффинной геометрии в своей книге Der barycentrische Calcul (глава 3).

После того, как Феликс Клейн «ы программы Erlangen , аффинная геометрия была признана как обобщение евклидовой геометрии .

В 1918 году Герман Вейль упомянул аффинную геометрию в своем тексте « Пространство, время, материя» . Он использовал аффинную геометрию для введения векторов сложения и вычитания на самых ранних этапах своего развития математической физики . Позднее ET Whittaker писал:

Геометрия Вейля исторически интересна как первая из аффинных геометрий, которая была детально проработана: она основана на особом типе параллельного переноса [. с использованием] мировых линий световых сигналов в четырехмерном пространстве-времени. Короткий элемент одной из этих мировых линий можно назвать нулевым вектором ; тогда рассматриваемый параллельный перенос таков, что он переносит любой нулевой вектор в одной точке в положение нулевого вектора в соседней точке.

Львовский С.М. Основные понятия математики. 3 декабря 2020

Системы аксиом

Было предложено несколько аксиоматических подходов к аффинной геометрии:

Закон Паппа

Поскольку аффинная геометрия имеет дело с параллельными линиями, за основу было взято одно из свойств параллелей, отмеченное Паппом Александрийским :

    Если находятся на одной строке и на другой, то А , B , C <\ displaystyle A, B, C>А ′ , B ′ , C ′ ( А B ′ ∥ А ′ B ∧ B C ′ ∥ B ′ C ) ⇒ C А ′ ∥ C ′ А .

Предлагаемая полная система аксиом включает точку , линию и линию, содержащие точку в качестве примитивных понятий :

  • Две точки содержатся всего в одной строке.
  • Для любой прямой l и любой точки P , не лежащей на l , существует только одна строка, содержащая P и не содержащая ни одной точки l . Эта линия называется параллельной к л .
  • Каждая строка содержит не менее двух точек.
  • Есть как минимум три точки, не принадлежащие одной линии.

Интерес к этим пяти аксиомам усиливается тем фактом, что они могут быть развиты в обширную совокупность утверждений, применимых не только к евклидовой геометрии, но и к геометрии времени и пространства Минковского (в простом случае измерений 1 + 1, тогда как специальной теории относительности нужно 1 + 3). Расширение до евклидовой или минковской геометрии достигается путем добавления различных дополнительных аксиом ортогональности и т. Д.

Различные типы аффинной геометрии соответствуют интерпретации вращения . Евклидова геометрия соответствует обычной идее вращения , а геометрия Минковского соответствует гиперболическому вращению . Что касается перпендикулярных линий, они остаются перпендикулярными, когда плоскость подвергается обычному вращению. В геометрии Минковского гиперболо-ортогональные линии остаются в этом отношении, когда плоскость подвергается гиперболическому вращению.

Упорядоченная структура

Аксиоматическое рассмотрение плоской аффинной геометрии может быть построено на основе аксиом упорядоченной геометрии путем добавления двух дополнительных аксиом:

  1. ( Аффинная аксиома параллелизма ) Для точки A и прямой r, не проходящей через A, существует не более одной прямой, проходящей через A, которая не пересекает r.
  2. ( Дезарг ) Даны семь различных точек A, A ‘, B, B’, C, C ‘, O, таких, что AA’, BB ‘и CC’ — разные прямые, проходящие через O, а AB параллельна A’B ‘и BC параллельна B’C ‘, тогда AC параллельна A’C’.

Аффинная концепция параллелизма формирует отношение эквивалентности на прямых. Поскольку аксиомы упорядоченной геометрии, представленные здесь, включают свойства, которые подразумевают структуру действительных чисел, эти свойства переносятся здесь, так что это аксиоматизация аффинной геометрии над полем действительных чисел.

Тройные кольца

Первая недезарговская плоскость была отмечена Дэвидом Гильбертом в его « Основах геометрии» . Самолет Моултона является стандартной иллюстрацией. Чтобы обеспечить контекст для такой геометрии, а также для тех, где верна теорема Дезарга , была разработана концепция троичного кольца.

Элементарные аффинные плоскости строятся из упорядоченных пар, взятых из тройного кольца. Говорят, что плоскость обладает «второстепенным аффинным свойством Дезарга», когда два треугольника в параллельной перспективе, имеющие две параллельные стороны, также должны иметь параллельные третьи стороны. Если это свойство выполняется в элементарной аффинной плоскости, определенной тернарным кольцом, то существует отношение эквивалентности между «векторами», определяемыми парами точек из плоскости. Кроме того, векторы образуют абелеву группу при сложении, тернарное кольцо линейно и удовлетворяет правой дистрибутивности:

Федор Селянин — Число корней полиномиальных систем уравнений (2/2)

( a + b ) c = ac + bc .

Аффинные преобразования

Геометрически аффинные преобразования (аффинности) сохраняют коллинеарность: поэтому они преобразуют параллельные прямые в параллельные и сохраняют отношения расстояний вдоль параллельных линий.

16. Теоремы Чевы и Менелая

Мы идентифицируем как аффинные теоремы любой геометрический результат, инвариантный относительно аффинной группы (в программе Феликса Клейна на Эрлангене это основная группа преобразований симметрии для аффинной геометрии). Рассмотрим в векторном пространстве V , то линейная группа GL ( V ). Это не вся аффинная группа , потому что мы должны позволить также переводы с помощью векторов V в V . (Такой перевод отображает любой w из V в w + v .) Аффинная группа порождается общей линейной группой и переводами и фактически является их полупрямым произведением . (Здесь мы думаем о V как о группе при ее операции сложения и используем определяющее представление GL ( V ) на V для определения полупрямого произведения.) V ⋊ г L ( V ) <\ Displaystyle V \ rtimes \ mathrm (V)>

Например, теорема из плоской геометрии треугольников о совпадении прямых, соединяющих каждую вершину, с серединой противоположной стороны (в центроиде или барицентре ) зависит от понятий средней точки и центроида как аффинных инвариантов. Другие примеры включают теоремы Чевы и Менелая .

Аффинные инварианты также могут помочь в вычислениях. Например, линии, разделяющие площадь треугольника на две равные половины, образуют конверт внутри треугольника. Отношение площади огибающей к площади треугольника является аффинно-инвариантным, поэтому его нужно рассчитать только из простого случая, такого как единичный равнобедренный прямоугольный треугольник, чтобы получить, например, 0,019860 . или менее 2%, для всех треугольников. 3 4 бревно е ⁡ ( 2 ) — 1 2 , <\ displaystyle <\ tfrac <3><4>> \ log _ (2) — <\ tfrac <1><2>>,>

Знакомые формулы, такие как половина основания, умноженная на высоту для площади треугольника, или треть основания, умноженное на высоту для объема пирамиды, также являются аффинными инвариантами. Хотя последнее менее очевидно, чем первое для общего случая, это легко увидеть для одной шестой части единичного куба, образованной гранью (область 1) и средней точкой куба (высота 1/2). Следовательно, это справедливо для всех пирамид, даже для наклонных, вершина которых не находится непосредственно над центром основания, и пирамид с основанием в виде параллелограмма вместо квадрата. Формула далее обобщается на пирамиды, основание которых можно разрезать на параллелограммы, включая конусы, допуская бесконечное количество параллелограммов (с должным вниманием к сходимости). Тот же подход показывает, что четырехмерная пирамида имеет четырехмерный гиперобъем, равный четверти трехмерного объема ее основания параллелепипеда, умноженной на высоту, и так далее для более высоких измерений.

Кинематика

В кинематике используются два типа аффинных преобразований: классическая и современная. Скорость v описывается с использованием длины и направления, причем длина считается неограниченной. Эта разновидность кинематики, стилизованная под галилееву или ньютоновскую, использует координаты абсолютного пространства и времени . Карта сдвига плоскости с осью для каждой представляет собой изменение координат для наблюдателя, движущегося со скоростью v в неподвижной системе отсчета.

Конечная скорость света, впервые отмеченная задержкой появления спутников Юпитера, требует современной кинематики. Этот метод предполагает быстроту вместо скорости и заменяет карту сдвига, используемую ранее. Эта аффинная геометрия была разработана синтетически в 1912 г. для выражения специальной теории относительности . В 1984 году «аффинная плоскость, связанная с лоренцевым векторным пространством L 2 » была описана Грасиелой Бирман и Кацуми Номидзу в статье «Тригонометрия в лоренцевой геометрии».

Геометрия. Лекция. 17.12

Аффинное пространство

Аффинная геометрия может рассматриваться как геометрия в аффинном пространстве заданной размерности п , координатизированы над полем K . Существует также (в двух измерениях) комбинаторное обобщение координатного аффинного пространства, развитое в синтетической конечной геометрии . В проективной геометрии аффинное пространство означает дополнение бесконечно удаленной гиперплоскости в проективном пространстве . Аффинное пространство также можно рассматривать как векторное пространство, операции которого ограничены теми линейными комбинациями, чьи коэффициенты суммируются до единицы, например 2 xy , xy + z , ( x + y + z ) / 3, i x + (1 — i ) y и т. Д.

Синтетически аффинные плоскости — это двумерные аффинные геометрии, определенные в терминах отношений между точками и линиями (или иногда, в более высоких измерениях, гиперплоскостями ). Определяя аффинную (и проективную) геометрию как конфигурации точек и линий (или гиперплоскостей) вместо использования координат, можно получить примеры без полей координат. Главное свойство состоит в том, что все такие примеры имеют размерность 2. Конечные примеры в размерности 2 ( конечные аффинные плоскости ) оказались ценными при изучении конфигураций в бесконечных аффинных пространствах, в теории групп и комбинаторике .

Несмотря на то, что они менее общие, чем конфигурационный подход, другие обсуждаемые подходы оказались очень успешными в освещении частей геометрии, связанных с симметрией .

Проективный вид

В традиционной геометрии аффинная геометрия считается исследованием между евклидовой геометрией и проективной геометрией . С одной стороны, аффинная геометрия — это евклидова геометрия без сравнения ; с другой стороны, аффинная геометрия может быть получена из проективной геометрии путем обозначения конкретной линии или плоскости для представления бесконечно удаленных точек . В аффинной геометрии нет метрической структуры, но постулат параллельности соблюдается . Аффинная геометрия обеспечивает основу для евклидовой структуры, когда определены перпендикулярные линии, или основу для геометрии Минковского через понятие гиперболической ортогональности . С этой точки зрения, аффинное преобразованием является проективным преобразованием , которое не переставлять конечные точки с точками на бесконечности, и аффинная геометрия преобразования является изучением геометрических свойств через действие в группе аффинных преобразований.

«Межкафедральный семинар по дискретной математике», Райгородский А. М. 09.03.2021г.

Аффинные координаты

Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве

Пусть в пространстве фиксирована точка аффинной (декартовой) системой координат :

– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) — это точка на прямой (базис на прямой);

– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) — это точка , взятые в определенном порядке (базис на плоскости);

– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) — это точка , взятые в определенном порядке (базис в пространстве).

Точка началом координат . Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат . Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями .

Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.

Координаты векторов и точек в аффинной системе координат

Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).

Для любой точки начало которого совпадает с началом координат, а конец — с точкой Координатами точки в базисе , т.е. коэффициенты в разложении (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой , третья – аппликатой . На плоскости и на прямой координаты записывают в виде и согласно разложениям (рис.2.1,6), представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):

Найдем координаты вектора и концом в точке . Рассмотрим треугольник (рис.2.2). Радиус-векторы и , . По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем , т.е. вектор . Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала . Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.

1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие её координаты, причем это соответствие взаимно однозначное:

В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат.

2. Если вектор с координатами отложить от точки , то конец вектора .

3. Координаты точки , которая делит отрезок , находятся по координатам его концов и :

В частности, координаты середины отрезка :

Координаты точки которая "делит" площадь треугольника в отношении , находятся по координатам его вершин :

Семинар №12 «Аффинные преобразования плоскости»

В частности, координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника :

Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд. 1.6.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппликаты всех точек положить равными нулю. Например, координаты середины отрезка , или координаты точки пересечения медиан треугольника

Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды Найти координаты (в той же системе координат):

ИНВЕСТОРУ

У меня с одним знакомым спор вышел по поводу правильности каутинга по Эллиоту. Ниже представлю 3 варианта. Какой из них по вашему мнению правильный и почему?

A.5.8 Системы координат

Re: Теория Эллиота. Каунтинг.

И еще один момент. Известны ли кому-либо методы, при которых ось абсцисс (время) смещается? К примеру на уровень трендовой импульса? И что это может дать?

Вот пример такого смещения:

Там первая равна пятой, третья нормальная большая, да и похоже сотношением с первой связана, что красиво.

Первый каунтинг не так гармонично выглядит. Третий — вообще извращение, такой только, если ничего лучше в голову не приходит можно делать.

Но вообще такое движение расскладывать только из академического интереса можно. Реальной пользы никакой, наоборот, один вред, так как ошибиться легко. Это все — одно движение, и именно так его надо рассматривать.

In My Humble Opinion все.

Re: ИМХО

Re: ИМХО

В первый раз такое вижу.

Re: ИМХО

Re: ИМХО

Re: ИМХО

Re: Теория Эллиота. Каунтинг.

Re: Теория Эллиота. Каунтинг.

Вообще-то есть сомнения, что третья не может быть самой короткой.

Да, да, я знаю, сам удивлялся.

Аффинные преобразования

Я тоже склоняюсь ко второму каутингу, в крайнем случае к первому, но не как не к третьему с его «неправильной» плоской коррекцией в 4ой волне.

Теперь собственно главный момент, из-за которого у меня с приятелем и возник спор. Вот 2 каутинга:

Второй вариант каутинга, приводившегося выше:

Каутинг графика после применения аффинных преобразований (смещения оси абсцисс — OX):

Какую разметку на последнем графике вы считаете более верной и почему? (3′ и 4′ или 3 и 4)

PS: Спасибо Сцилла! Уже давно использую аффинные преобразования, но не знал, что кто-то ими еще интересовался.
Кому интересно статья лежит здесь
Коротко:
Аффинная геометрия рынков
Одним из проявлений свойства памяти рынков является формирование на графиках параллельных линий консолидации и длительное сохранение силы этих линий. Простое геометрическое преобразование ценового графика помогает сделать это свойство более явным, хотя с математической точки зрения это просто эквивалентное представление, то есть не более чем другая точка зрения. Но для принятия торговых решений точка зрения, исходя из которой вы смотрите на график, может быть не менее важна, чем сам этот график. Аффинные же проекции дают даже не одну, а целых две новых точки зрения!

Аффинные преобразования плоскости

Преобразование плоскости задается двумя скалярными функциями двух переменных:

Формула аффинного преобразования плоскости

Пусть на плоскости фиксирована аффинная система координат . Преобразование аффинным , если координаты образа прообраза по формулам

где — невырожденная матрица ( матрица аффинного преобразования ), координатные столбцы образа (координатные столбцы радиус-векторов ) соответственно, — координатный столбец образа начала координат, или вектора переноса начала координат. В формулах аффинного преобразования (2.11) подчеркивается зависимость матрицы преобразования и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (2.11) будем опускать, если понятно, в какой системе координат задано преобразование.

1. Столбец в (2.11) определяет координаты образа начала координат. Действительно, подставляя координаты точки в (2.11), получаем координаты точки . Можно сказать, что при аффинном преобразовании начало координат переносится на вектор а=00 , координатный столбец которого равен .

2. Аффинное преобразование (2.11) в любой другой аффинной системе координат задается формулами того же вида.

Действительно, пусть известны: матрица перехода от старого базиса к новому базису и координатный столбец вектора переноса начала координат где и — координатные столбцы точек (радиус-векторов , , и новой системах координат.

Подставляя в (2.11), получаем

Учитывая, что матрица обратимая (см. свойство 2 матриц перехода в разд.2.2.1), выражаем координатный столбец образа прообраза в системе координат :

В результате получили аффинное преобразование вида (2.11):

А.Б.Сосинский, Геометрия

с матрицей вектора переноса.

Таким образом, связь матриц одного и того же аффинного преобразования в разных базисах, а также координатных столбцов вектора переноса, имеет вид

где — матрицы ( — координатные столбцы вектора переноса) аффинного преобразования в старом и новом базисах, a — матрица перехода от старого базиса к новому.

3. Запишем (2.11), обозначив образ точки через :

Лекция 29: Аффинные преобразования

Сравнивая формулы (2.13) аффинного преобразования плоскости с формулами (2.8) аффинного преобразования координат, заключаем, что эти соотношения: и будут равносильными, если положить получаем , что равносильно . Таким образом, изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию.

4. Аффинное преобразование плоскости порождает преобразование векторов на плоскости, если рассматривать векторы как упорядоченные пары точек, а именно: при аффинном преобразовании (рассматриваемому как упорядоченная пара точек , причем ), координаты которого выражаются через координаты прообраза no формулам:

где — координатные столбцы векторов (относительно одного и того же базиса), — координатные столбцы точек соответственно, то учитывая (2.13):

Реперы, аффинные подпространства и аффинные отображения

что и требовалось доказать.

Способы задания аффинного преобразования плоскости

Первый способ. Чтобы задать аффинное преобразование плоскости по определению, достаточно указать систему координат и формулы (2.11), т.е. задать невырожденную матрицу в (2.11).

Второй способ. Пусть на плоскости заданы две аффинные системы координат: старая и новая (рис.2.18). Тогда существует единственное аффинное преобразование ставит в соответствие точку , координаты которой в новой системе координат совпадают с координатами точки в старой системе координат.

Действительно, пусть — матрица перехода от старого базиса к новому базису . Тогда, учитывая (2.8), имеем . Подставляя (координаты образа в новой системе координат совпадают с координатами прообраза в старой системе координат), получаем аффинное преобразование

вида (2.11) с невырожденной матрицей и столбцом . Существование аффинного преобразования доказано. Докажем единственность от противного. Пусть преобразование удовлетворяет тем же условиям, что и образы и не совпадают. Тогда в новой системе координат разные точки и будут иметь равные координаты (такие же, как координаты точки в старой системе координат ), чего быть не может (см. пункт 1 замечаний 2.1). Полученное противоречие доказывает единственность аффинного преобразования.

Таким образом, аффинное преобразование (2.15) может быть задано указанием двух аффинных систем координат. Говорят, что аффинное преобразование задано переходом от одной аффинной системы координат к другой.

Третий способ. Аффинное преобразование плоскости вполне определяется образами трех данных точек, не лежащих на одной прямой, т.е. существует единственное аффинное преобразование, переводящее три точки , не лежащие на одной прямой, в три точки , также не лежащие на одной прямой.

Аффинные преобразования. Учебный фильм по математике

В самом деле, заданные точки и порождают две аффинные системы координат и , где и — пары базисных (неколлинеарных) векторов, и тем самым однозначно определяют аффинное преобразование.

Пример 2.7. В прямоугольной системе координат заданы точки (рис.2.19):

Требуется вывести формулы (2.11) аффинного преобразования в точки , и найти координаты образа точки :

Лекция 10.3 Аффинное пространство

а) в системе координат ;

б) в заданной прямоугольной системе координат.

Решение. а) Искомое преобразование в систему координат , где , . Формулы, задающие такое преобразование — координатный столбец вектора в базисе , а — матрица перехода от базиса к базису . По рис.2.19, учитывая, что и определяем разложения векторов по базису :

Аффинная геометрия

Следовательно, в системе координат преобразование (2.15) имеет вид

Координаты, аффинные преобразования.

поскольку согласно (2.2) матрица перехода формируется путем записи по столбцам координат векторов в базисе .

Найдем координаты образа точки . В системе координат точка имеет координаты ,так как . Подставляя в найденные формулы координаты прообраза, получаем искомые координаты образа:

Заметим, что в новой системе координат точка имеет координаты , которые совпадают с координатами точки в старой системе координат .

б) Подставляя в (2.11) координаты образов и прообразов, получаем:

Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем

Решая эту систему, находим элементы матрицы , после чего определяем столбец . Таким образом, искомое преобразование

Найдем координаты образа точки :

Получим теперь формулы аффинного преобразования , используя связи (2.12). Учитывая, что переход от прямоугольной системы координат системе координат определяется матрицей столбцом поскольку , , находим

что совпадает с результатами пункта "а".

Свойства аффинных преобразований плоскости

1. Аффинное преобразование взаимно однозначное, кроме того:

2. При аффинном преобразовании векторы преобразуются следующим образом:

3. При аффинном преобразовании сохраняется отношение, в котором точка делит отрезок.

4. При аффинном преобразовании (2.11) площадь любого параллелограмма изменяется в одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и то же число (называемое коэффициентом искажения площади ): , где — площадь параллелограмма, a — площадь образа этого параллелограмма. Другими словами, коэффициент искажения площади при аффинном преобразовании равен модулю определителя матрицы этого преобразования.

Первое свойство следует из обратимости матрицы

Заметим, что эти формулы имеют тот же вид, что и (2.11), т.е. преобразование, обратное к аффинному, является аффинным преобразованием с матрицей . Композиция аффинных преобразований и :

также является аффинным преобразованием с матрицей .

Докажем второе свойство. Пусть ненулевые векторы и . Надо доказать, что их образы и также коллинеарны и . Действительно, если и то есть

Следовательно, . Если же хотя бы один из векторов нулевой, например, получаем, что равные векторы преобразуются в равные. Наконец, неколлинеарные векторы не могут преобразоваться в коллинеарные, поскольку в этом случае при обратном преобразовании коллинеарные векторы преобразуются в неколлинеарные, что противоречит пункту 2,"б".

Третье свойство следует из второго (см. пункт 2,"б"). Действительно, пусть точки отображаются в точки соответственно. Если точка делит отрезок , то векторы и . По свойству 2 пункта "б" векторы и также коллинеарны и , т.е. точка

Обсудим четвертое свойство. На рис.2.20 заштрихованы параллелограмм, построенный на базисных векторах , и его образ (параллелограмм, построенный на базисных векторах ). Справедливость утверждения для параллелограммов следует из свойства 3 матрицы перехода от одного базиса к другому. Любой параллелограмм разбивается диагональю на два равных треугольника. Следовательно, утверждение справедливо для треугольников, а значит и для многоугольников, поскольку любой многоугольник разбивается на конечное число треугольников. Средствами математического анализа это свойство может быть распространено на произвольную измеримую плоскую фигуру.

1. Третье свойство является характеристическим для аффинного преобразования и может быть взято в качестве эквивалентного определения.

2. Преобразование (2.11) для произвольной квадратной матрицы матрицей линейного преобразования . Любое аффинное преобразование является линейным, но не всякое линейное преобразование является аффинным.

Аффинные Преобразования

3. Квадратные матрицы — преобразующей. В силу (2.12) матрицы аффинного преобразования в разных базисах оказываются подобными, причем преобразующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому.

Честные Форекс брокеры этого года:
Оцените статью
Сайт любителей Форекса